Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+

b

x

(a，b∈R)，若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1，則得到f′（1）=1，進(jìn)而可得結(jié)果；
（Ⅱ）由于g（x）≤-1恒成立，等價(jià)于g（x）_max≤-1．利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最大值，可驗(yàn)證此時(shí)滿足要求，從而得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a-

b

x2

，
因?yàn)閒（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線斜率為1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因?yàn)間（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+

a-1

x

）=lnx-ax-

a-1

x

，
要使g（x）≤-1恒成立，即g（x）_max≤-1．
g′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

，
①當(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

x-1

x2

，
當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）_max=g（1）=1，不符題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，g′(x)=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

=

-a[x-(-1+ 1 a )](x-1)

x2

=0⇒x=1，x=-1+

1

a

，
（1）若a＜0，-1+

1

a

＜0，
當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）_min=g（1）=1-2a＞1＞-1，不符題意；
（2）若a＞0，
若0＜a≤

1

2

，-1+

1

a

＞1，
當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
這時(shí)g(-1+

1

a

)=ln(-1+

1

a

)+2a-1＞-1，不符題意；
若

1

2

＜a＜1，0＜-1+

1

a

＜1，x∈(0，-1+

1

a

)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
這時(shí)g（1）=1-2a＞1-2=-1，不符題意；
若a≥1，-1+

1

a

≤0，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
則g（x）_max=g（1）=1-2a≤-1，符合題意；
綜上，得g（x）≤-1恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，對(duì)能力要求較高．