若不等式
t2
t+2
≤a
t2+1
t
在t∈(0,2]上恒成立,則a的取值范圍是
[1,2]
[1,2]
分析:由題意,不等式轉(zhuǎn)化為
a≤
t2+1
t
a≥
t2
t+2
;即當(dāng)t∈(0,2]時,求y=
t2+1
t
的最小值和x=
t2
t+2
的最大值問題.
解答:解:∵不等式
t2
t+2
≤a
t2+1
t
,在t∈(0,2]上恒成立,
a≤
t2+1
t
a≥
t2
t+2

設(shè)y=
t2+1
t
,則y=t+
1
t
≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,“=”成立,
∴y在t∈(0,2]上有最小值2,即a≤2;
又設(shè)x=
t2
t+2
,則x=
1
1
t
+
2
t2
=
1
2(
1
t
+
1
4
)
2
-
1
8

∵t∈(0,2],
∴當(dāng)t=2時,x在t∈(0,2]上有最大值1,即a≥1;
∴a的取值范圍是1≤a≤2;
故答案為:[1,2].
點評:本題考查了不等式恒成立問題,解題時可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題,是容易出錯的題目.
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