Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均為60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求證：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，以O(shè)B，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

BD

與

AA1

的坐標(biāo)，計算它們的數(shù)量積從而得到BD⊥AA₁
（II）平面AA₁C₁C的一個法向量為n₁=（1，0，0），求出平面AA₁D的一個法向量n₂，計算兩法向量的余弦值從而得到二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（III）假設(shè)在直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，設(shè)

CP

=λ

CC1

，求出平面DA₁C₁的法向量n₃，根據(jù)法向量n₃與

BP

垂直求出λ的值，從而得到點P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP．

解答：解：設(shè)BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
所以A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3，
所以AO²+A₁O²=AA₁²，所以A₁O⊥AO．
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，所以A₁O⊥平面ABCD．
以O(shè)B，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(-

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)
（I）由于

BD

=(-2

3

，0，0)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AA1

•

BD

=0×(-2

3

)+1×0+

3

×0=0，∴BD⊥AA₁
（II）由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的一個法向量為n₁=（1，0，0）
設(shè)n₂⊥平面AA₁D，則

n2⊥ AA1 n2⊥ AD

，
設(shè)n₂=（x，y，z），則

y+ 3 z=0 - 3 x+y=0

取n2=(1，

3

，-1)，∴cos＜n1，n2＞

n1•n2

|n1||n2|

=

5

5

所以，二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值為

5

5

（III）假設(shè)在直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，設(shè)

CP

=λ

CC1

，P(x，y，z)，則(x，y-1，z)=λ(0，1，

3

)，從而有
P(0，1+λ，

3

λ)，

BP

=(-

3

，1+λ，

3

λ)
設(shè)n₃⊥平面DA₁C₁，則

n3⊥ A1C1 n3⊥ DA1

，又

A1C1

=(0，2，0)，

DA1

=(

3

，0，

3

)
設(shè)n₃=（x₃，y₃，z₃），則

2y3=0 3 x3+ 3 z3=0

，取n₃=（1，0，-1）
因為BP∥平面DA₁C₁，則n3⊥

BP

，即n3•

BP

=-

3

-

3

λ=0，得λ=-1
即點P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及平面與平面平行的判定和空間中直線與直線之間的位置關(guān)系與空間向量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．