Question

（2013•�？诙�模）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|+a．
（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三個(gè)不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若a=0，則f（x）=

-1 ，x＜-1 2x+1 ， -1≤x＜0 1  ， x≥0

，分 x＜-1時(shí)、當(dāng)-1≤x＜0時(shí)、當(dāng)x≥0 時(shí)，三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）設(shè)u（x）=|x+1|-|x|，由題意易知，把函數(shù)y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|-|x|=

-1 ，x＜-1 2x+1 ， -1≤x＜0 1  ， x≥0

，
∴當(dāng) x＜-1時(shí)，不等式 即-1≥0，解得x∈∅．
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，不等式即 2x+1≥0，解得 x≥-

1

2

．綜合可得-

1

2

≤x＜0．
當(dāng)x≥0 時(shí)，不等式即 1≥0，恒成立，故不等式的解集為x≥0．
綜上，不等式的解集為[-

1

2

，+∞）．   （5分）
（Ⅱ）設(shè)u（x）=|x+1|-|x|，則函數(shù)u（x）的圖象和 y=x的圖象如右圖：
由題意易知，把函數(shù)y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，
從而-1＜a＜0．（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．