Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=

1

2

．過F₁的直線l交橢圓與A、B兩點，且△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當△ABF₂的面積為3時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由△ABF₂的周長為8，結(jié)合橢圓定義求得a值，再由橢圓離心率求出c，由b²=a²-c²求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程為x=ty-1，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點縱坐標的和與積，由S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求得t值，則直線方程可求．

解答： 解：（1）∵|AB|+|AF₂|+|BF₂|=8，
即|AF₁|+|F₁B|+|AF₂|+|BF₂|=8，
又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
∴4a=8，a=2．
又∵e=

1

2

，即

c

a

=

1

2

，
∴c=1．
∴b=

a2-c2

=

3

．
故橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty-1．
聯(lián)立

x=ty-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²-6ty-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

．
由S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 6t 3t2+4 )2+4× 9 3t2+4

=

12

3t2+4

•

t2+1

=3，
解得：t=0．
∴直線l的方程為x=-1．

點評：本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，函數(shù)與方程思想，是壓軸題．