已知函數(shù),( x>0).
(I)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求證:ab>1;
(II)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?[a,b]時(shí),值域?yàn)?[ma,mb](m≠0),求m的取值范圍.
解:(I) ∵x>0,∴
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).
由0<a<b,且f(a)=f(b),
可得 0<a1<b和
.
即.
∴2ab=a+b>.
故,即ab>1.
(II)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b.
若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是
[a,b],則a>0.
① 當(dāng)時(shí),
在(0,1)上為減函數(shù).
故 即
解得 a=b.
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.
② 當(dāng)時(shí),
在
上是增函數(shù).
故 即
此時(shí)a,b是方程的根,此方程無(wú)實(shí)根.
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.
③ 當(dāng),
時(shí),
由于,而
,
故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.
綜上可知,不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.
(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]時(shí),值域?yàn)閇ma,mb].
則a>0,m>0.
① 當(dāng)時(shí),由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故
.此時(shí)刻得
,b異號(hào),不符合題意,所以
,b不存在.
② 當(dāng)或
時(shí),由(II)知0在值域內(nèi),值域不可能是[m
,mb],所以
,b不存在.
故只有.
∵在
上是增函數(shù),
∴ 即
a, b是方程的兩個(gè)根.
即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根.
設(shè)這兩個(gè)根為,
.
則+
=
,
?
=
.
∴ 即
解得 .
故m的取值范圍是.
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2ax+a2-1 |
x2+1 |
1 |
2 |
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e2 | x |
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