已知函數(shù),( x>0).

(I)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求證:ab>1;

(II)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a,b],若存在,則求出a,b的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?[a,b]時(shí),值域?yàn)?[ma,mb](m≠0),求m的取值范圍.

解:(I) ∵x>0,∴

f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在上是增函數(shù).

由0<a<b,且f(a)=f(b),

可得 0<a1<b和

∴2ab=a+b>

,即ab>1.

 (II)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b.

     若存在滿足條件的實(shí)數(shù)ab,使得函數(shù)y=的定義域、值域都是

[ab],則a>0.

    

①   當(dāng)時(shí),在(0,1)上為減函數(shù).

     即 

解得  a=b

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

②     當(dāng)時(shí),上是增函數(shù).

     即 

此時(shí)a,b是方程的根,此方程無(wú)實(shí)根.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

③     當(dāng),時(shí),

由于,而,

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

      綜上可知,不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b

(III)若存在實(shí)數(shù)a,ba<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇ab]時(shí),值域?yàn)閇ma,mb].

      則a>0,m>0.

①       當(dāng)時(shí),由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù),故.此時(shí)刻得,b異號(hào),不符合題意,所以,b不存在.

②       當(dāng)時(shí),由(II)知0在值域內(nèi),值域不可能是[m,mb],所以,b不存在.

        故只有

上是增函數(shù),

     ∴        即 

a,  b是方程的兩個(gè)根.

即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根.

設(shè)這兩個(gè)根為,

+=,?=

       即 

解得  

     故m的取值范圍是

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已知函數(shù)f(x)=
2ax+a2-1
x2+1
,其中a∈R.
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1
2
mf(x),g(x)=(lnx)2
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