Question

【題目】求所有正整數，使得給定序列，，中的每一項都是平方數。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解法1 由已知可得，.

則.

故.

當時，有.

當時，有.

當時，.

由于與互質，則與是一組本原勾股數.

因此，存在互質的正整數，且，

使得（1）

（2）

第（1）種情形中，由式①、②得. ④

由上式知為奇數，則為偶數，為奇數.

于是，由式②及，知. ⑤

再利用式④得.

則， ⑥

其中，是相鄰的兩個整數.

由于它們互質，則.

于是，.

若，則.

此式具有的形式，已證明它沒有滿足的整數解，故，矛盾.

若，則.

此式具有的形式，也已證明它沒有滿足的整數解，故.

于是，.

由式④得.

由式②知，從而，.

第（2）種情形下，沒有滿足條件的正整數解.

綜上，找到了關于的所有選擇

.

當時，得到一個各項均為平方數的周期序列：4,4,0,4,4,0，….

當時，得到一個各項均為平方數4的常數序列：4,4,4,4，….

當時，，

，

，

，

，

……

由此可猜測此序列是斐波那契數列中奇數項的平方的4倍，即

.

如果是斐波那契數列，易知及，

故為平方數.

因此，，

即為平方數.

這說明符合題設要求.

綜上，所有的取值為1,3,9.

解法2 由，，

得.

于是，是偶數，又是平方數.

故可設.

從而，.

則.

故，

.

由是平方數，可設. ①

當時，.

此時，，

，

.

從而，數列的周期數列：

4,4,0,4,4,0，….

因此，滿足條件.

當時，.

從而，數列為常數數列； 4,4,4，….

因此，滿足條件.

當時，有式①知， ②

.

故 .

從而，，即式②等號成立.

于是.此時，.

以下同解法1.