若橢圓E1
x2
a12
+
y2
b12
=1和橢圓E2
x2
a22
+
y2
b22
滿足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m>0),則稱這兩個橢圓相似,m稱其為相似比.
(Ⅰ)求經(jīng)過點(
2
2
,
3
2
),且與橢圓C1:x2+2y2=1相似的橢圓C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)過原點的一條射線l分別與(Ⅰ)中的橢圓C1,C2交于A、B兩點,求|OA|•|OB|的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)直線l1:y=kx與(Ⅰ)中橢圓C2交于M、N兩點(其中M在第一象限),且直線l1與直線l2:x=t(t>0)交于點D,過D作DG∥MF(F為橢圓C2的右焦點)且交x軸于點G,若直線MG與橢圓C2有且只有一個公共點,求t的值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)設(shè)與橢圓C1:x2+2y2=1相似的橢圓的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,結(jié)合題目條件可求得a2=2,b2=1;
(Ⅱ)對過原點的一條射線l的斜率分存在與不存在進行討論,l的斜率不存在時,|OA|•|OB|=
2
2
,當l的斜率存在時,可求得|OA|•|OB|=
2
2
(1+
1
1+2k2
),從而可求得|OA|•|OB|的取值范圍;
(Ⅲ)分別求出kMG、k′,利用k′=kMG,即可求t的值.
解答: (Ⅰ)解:設(shè)與橢圓C1:x2+2y2=1相似的橢圓的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1

則有
1
2
a2
+
3
4
b2
=1
a
1
=
b
2
2
解得a2=2,b2=1.
∴所求方程是
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)解:當射線l的斜率不存在時,A(0,±
2
2
),B(0,±1),∴|OA||OB|=
2
2

當射線l的斜率存在時,設(shè)其方程y=kx,
則y=kx代入
x2
2
+y2=1
,可得x2=
1
1+2k2
,y2=
k2
1+2k2

∴|OA|=
1+k2
1+2k2
,|OB|=
2+2k2
1+2k2
,
∴|OA||OB|=
1+k2
1+2k2
2+2k2
1+2k2
=
2
2
(1+
1
1+2k2
),
2
2
<|OA||OB|≤
2
,
綜上,
2
2
≤|OA||OB|≤
2
;
(Ⅲ)解:設(shè)M(x1,y1),G(x0,0),直線MG的斜率為k′,則直線MG:y-y1=k′(x-x1),
與橢圓方程聯(lián)立,可得(2k′2+1)x2+4(y1-k′x1)k′x+2(y1-k′x12-2=0,
∵直線MG與橢圓C2有且只有一個公共點,
∴△=0,
∴(2-x12)k′2+2k′x1y1+1-y12=0(*),
∵x12+2y12=2,
∴(*)化簡可得k′=-
x1
2y1
,
∵DG∥MF,
OM
OD
=
OF
OG
,∴
x1
t
=
1
x0

∴x0=
t
x1
,
∴G(
t
x1
,0),
∴kMG=
x1y1
x12-t
,
∵k′=kMG,
x1y1
x12-t
=-
x1
2y1
,
∴t=x12+2y12=2.
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,著重考查橢圓的標準方程,消參法求點的軌跡,難點在于直線與橢圓的綜合分析與應(yīng)用,思維深刻,運算復(fù)雜,難度大,屬于難題.
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π
3
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