Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c在x1處取得極大值，在x2處取得極小值，滿足x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），則a+2b的取值范圍是

（-5，1）

．

Answer 1

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值關(guān)系得到x₁，x₂，是f'（x）=0的兩個(gè)根，利用一元二次根的分別確定2b的取值范圍即可

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c在x1處取得極大值，在x2處取得極小值，
∴f'（x）=x²+ax+b，且x₁，x₂是f'（x）=0的兩個(gè)根，
∵x₁∈（-1，1），x₂∈（2，4），
∴

f′(-1)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＜0 f′(4)＞0

，即

1-a+b＞0 1+a+b＜0 4+2a+b＜0 16+4a+b＞0

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
設(shè)z=a+2b，則b=-

1

2

a+

z

2

，
平移直線b=-

1

2

a+

z

2

，由圖象可知當(dāng)直線b=-

1

2

a+

z

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，
由

4+2a+b=0 1+a+b=0

，
解得

a=-3 b=2

，即A（-3，2），
代入z=a+2b得z的最大值為z=-3+4=1．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，
由

4+2a+b=0 1-a+b=0

，
解得

a=-1 b=-2

，
即B（-1，-2），
代入z=a+2b得z的最小值為z=-1-4=-5．
即-5＜z＜1，
∴a+2b的取值范圍是（-5，1）．
故答案為：（-5，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及一元二次根的分別，利用線性規(guī)劃的知識(shí)解決a+2b的取值范圍，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．