Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，an+1=1+an(n∈N*)，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且數(shù)列

3

4

S₁+1，

3

4

S₂+1，

3

4

S₃+1，…

3

4

S_n+1…是首項和公比都為4的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，求

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）易知{a_n}是等差數(shù)列，可求a_n，利用等比數(shù)列的通項公式可求得S_n，由S_n和b_n的關(guān)系可求b_n；
（Ⅱ）求出T_n，利用裂項相消法可求得結(jié)果；

解答： 解：（Ⅰ）由題意知：a_n+1-a_n=1，n∈N^*，滿足a₁=0，
∴數(shù)列{a_n}是以0為首項，公差等于1的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
又由題意可得：

3

4

Sn+1=4×4n-1=4ⁿ，
∴S_n=

4

3

(4n-1)；
（1）當(dāng)n=1時，b1=S1=

4

3

(4-1)=4，
（2）當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

4

3

(4n-1)-

4

3

(4n-1-1)=4ⁿ，
檢驗n=1時也符合，∴bn=4n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Tn=

n(a1+an)

2

=

(n-1)n

2

，
∴當(dāng)n≥2時，

1

Tn

=

2

(n-1)n

=2(

1

n-1

-

1

n

)，
∴

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

=2(1-

1

2

)+2（

1

2

-

1

3

）+…+2（

1

n-1

+

1

n

）=2-

2

n

．

點評：本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式等基本知識，簡單的數(shù)列求和方法等，屬于中檔題．