精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AB=2,M,N分別為PA,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:MN∥平面PCD;
(Ⅱ)求MN與平面PAC所成角的正切值.
分析:(Ⅰ)取PD的中點(diǎn)E,連接ME,CE,證明邊形MNCE是平行四邊形,可得MN∥CE,利用線面平行的判定定理可得MN∥平面PCD;
(Ⅱ)MN與平面PAC所成角等于EC與平面PAC所成角,求出E到平面PAC的距離,即可求MN與平面PAC所成角的正切值.
解答:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:取PD的中點(diǎn)E,連接ME,CE,則ME∥AD,ME=
1
2
AD,
∵N為BC的中點(diǎn),BC∥AD,∴ME∥CN,ME=CN,
∴四邊形MNCE是平行四邊形,
∴MN∥CE,
∵M(jìn)N?平面PCD,CE?平面PCD,
∴MN∥平面PCD;
(Ⅱ)解:過E作平面PAC的垂線,垂足為O,則
由(Ⅰ)知,MN與平面PAC所成角等于EC與平面PAC所成角,
∵D到平面PAC的距離為
2
,
∴E到平面PAC的距離為
2
2
,
∵CE=
2+4
=
6
,
∴CO=
6-
1
2
=
22
2

∴MN與平面PAC所成角的正切值為
11
11
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行,考查線面角,正確運(yùn)用線面平行的判定定理是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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