如果函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值,則點(x0,f(x0))稱為函數(shù)f(x)的一個極值點.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R)的一個極值點恰為坐標系原點,且y=f(x)在x=1處的切線方程為3x+y-1=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在[-2,2]上的值域.

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由f(0)=0,得d=0,
f′(0)=0,解得c=0,
又y=f(x)在x=1處的切線方程為3x+y-1=0,
所以f(1)=-2,即a+b=-2①,f′(1)=-3,即3a+2b=-3②,聯(lián)立①②解得a=1,b=-3,
所以f(x)=x3-3x2;
(2)f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0,解得x=0,2,
令f′(x)>0,得x<0或x>2,所以f(x)在[-2,0]內(nèi)遞增,
令f′(x)<0,得0<x<2,所以函數(shù)f(x)在[0,2]內(nèi)遞減,
所以f(x)max=f(0)=0,f(-2)=-20,f(2)=-4,所以f(x)min═-20,
故函數(shù)f(x)在[-2,2]上的值域為[-20,0].
分析:(1)由f(x)的極值點為原點得f(0)=0、f′(0)=0,可求d、c值,根據(jù)f(x)在x=1處的切線方程為3x+y-1=0可得f(1)=-2,f′(1)=-3,聯(lián)立可解得a、b;
(2)利用導數(shù)求出f(x)在[-2,2]上的極值、函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值,其中最大者為最大值,最小者為最小值,由此可得值域;
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及函數(shù)在某點處的切線方程,屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義,且對任意x1,x2∈D,x1≠x2,都有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.
(Ⅰ)已知f(x)=ln(1+ex)-x(x∈R),判斷f(x)是否是“凹函數(shù)”,若是,請給出證明;若不是,請說明理由;
(Ⅱ)對于(I)中的函數(shù)f(x)有下列性質(zhì):“若x∈[a,b],則存在x0(a,b)使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)”成立.利用這個性質(zhì)證明x0唯一;
(Ⅲ)設A、B、C是函數(shù)f(x)=ln(1+ex)-x(x∈R)圖象上三個不同的點,求證:△ABC是鈍角三角形.

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在平面直角坐標系中,橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為“格點”,如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(k∈N*)個格點,則稱函數(shù)f(x)為“k階格點函數(shù)”.下列函數(shù)中是“一階格點函數(shù)”的有
 

①f(x)=|x|;②f(x)=
2
(x-1)2+3
;③f(x)=(
1
2
)x-2
;④f(x)=log
1
2
(x+1)
  ⑤f(x)=
1
x-1

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江蘇省鎮(zhèn)江市高二(上)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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