已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準線上，若拋物線與直線相切．

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）當點在橢圓上運動時，設動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

 

【答案】

（1）

（2）存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與直線相切，聯(lián)立方程組并化簡， 利用，求得的值，進一步可得；

應用離心率求，得解.

（2）設，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.

由及確定的坐標關系，

導出，作出判斷.

試題解析：

（1）由，

拋物線與直線相切，

2分

拋物線的方程為：，其準線方程為：，

離心率， ，

故橢圓的標準方程為 5分

（2）設，，

則

當點在橢圓上運動時，動點的運動軌跡

的軌跡方程為： 7分

由得

設分別為直線，的斜率，由題設條件知

因此 9分

因為點在橢圓上，

所以，

故

所以，從而可知：點是橢圓上的點，

存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為． 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的線性運算.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F(
3
，0)，離心率為
3
2
．以原點為圓心的圓O與直線y=x+4
2
互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為
x2+
y2
4
=1
x2+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

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