Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-bx+c，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導(dǎo)公式、法則求出f′（x），根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出b的值，將（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）求出函數(shù)的定義域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=$\frac{1}{x}$-b，則f′（1）=1-b，
∵在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，
∴切線斜率為-1，則1-b=-1，得b=2，
將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=-b+c=-5，將b=2代入得c=-3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（Ⅱ）依題意知函數(shù)的定義域是（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
令f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0得，x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．