Question

6．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，G是△ABC的三條邊中線的交點，若$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-4，4）
• B． （4，4+2$\sqrt{2}$]
• C． [-4-2$\sqrt{2}$，-4）
• D． [-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 先根據(jù)重心的性質(zhì)以及向量的有關(guān)知識得到a+b=1，再根據(jù)基本不等式求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值，利用二倍角公式，令t=sinx，t∈[-1，1]，構(gòu)造函數(shù)設(shè)f（t）=2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得f（t）的最小值，再根據(jù)此最小值大于或等于0，求得m的范圍．

解答 解：∵G是△ABC的三條邊中線的交點，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{GA}$+（a+b）$\overrightarrow{GB}$+c$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴1=a+b=c，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）=1+2+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$-1，b=2-$\sqrt{2}$時取等號，
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥cos2x-msinx（x∈R）恒成立，
∴cos2x-msinx≤3+2$\sqrt{2}$（x∈R）恒成立，
∴1-2sin²x-msinx≤3+2$\sqrt{2}$（x∈R）恒成立，
設(shè)sinx=t，t∈[-1，1]，
∴2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$≥0在[-1，1]恒成立，
設(shè)f（t）=2t²+mt+2+2$\sqrt{2}$=2（t+$\frac{m}{2}$）²+2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
當(dāng)-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2時，f（t）_min=2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，由2+2$\sqrt{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$≥0，解得-2≤m≤2，
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞1時，即m＜-2時，f（t）的最小值為f（1）=m+4+2$\sqrt{2}$，
再由m+4+2$\sqrt{2}$≥0，解得-4-2$\sqrt{2}$≤m＜-2
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＜-1時，即m＞2時，f（t）的最小值為f（-1）=-m+4+2$\sqrt{2}$，
再由-m+4+2$\sqrt{2}$≥0，解得2＜m≤4+2$\sqrt{2}$，
綜上所述m的取值范圍為[-4-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$]，
故選：D

點評 本題主要考查重心的性質(zhì)，向量在幾何中的應(yīng)用，基本不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．