Question

將直線y=-5x+15繞著它與x軸的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角后，恰好與圓（x+2）²+（y+1）²=13相切，則α的一個值是

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

B
分析：令直線y=-5x+15中y=0，求出x的值，確定出直線與x軸的交點坐標，設(shè)出切線的斜率為k，表示出切線的方程，再根據(jù)圓的標準方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據(jù)點到直線的距離表示出圓心到切線的距離d，使d等于圓的半徑列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，取k的一個值，代入到角公式即可求出tanα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到α的度數(shù)．
解答：因為直線與x軸的交點為（3，0），
所以設(shè)切線方程為y=k（x-3），又已知圓的圓心（-2，-1），半徑為，
由圓心到直線的距離等于半徑可知=，
解得k=-，和k=，
由題設(shè)可知應(yīng)取k=-，
由到角公式知tanα==1，
則旋轉(zhuǎn)角α的一個值為45°．
故選B
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，圓的標準方程，以及到角公式的運用，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．