如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求證：；
（2）若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是，試求的余弦值．

（1）詳見試題解析；（2）．

解析試題分析：（1）證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．要證，只要證平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性質(zhì)定理知，只要證．在等腰梯形ABCD中，由已知條件及平面幾何相關(guān)知識易得；（2）連結(jié)交于，再連結(jié)EM，F(xiàn)M，易知四邊形為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即為直線DE與平面ACEF所成的角．在中由銳角三角函數(shù)可求得的長，再在中由銳角三角函數(shù)即可求得的余弦值．
試題解析：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC為腰，取AB得中點H，連CH，易知，四邊形ADCH為菱形，則CH=AH=BH,故△ACB為直角三角形，．              3分
平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．                               6分
（2）連結(jié)交于，再連結(jié)EM，F(xiàn)M，易知四邊形為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即為直線DE與平面ACEF所成的角．                                          9分

設(shè)AD=DC=BC=,則MD=，．依題意，，，在中，，∵=AM，四邊形AMEF為平行四邊形，，，．                 12分
考點：1．空間垂直關(guān)系的證明；2．空間角的計算．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.

(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：a、b、c、d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a、b、c、d共面

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N分別是B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C的中點,

求證:(1)MN∥平面CDD1C1.
(2)平面EBD∥平面FGA.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點E、F分別為棱PC，CD的中點．
 
(1)求證：平面OEF∥平面APD；
(2)求證：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一點M，使得M到P，O，C，F四點距離相等？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.

(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；
(2)點F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側(cè)面AA1C1C是正方形, E是的中點,F是棱CC1上的點.

（1）當時，求正方形AA1C1C的邊長；
（2）當A1F+FB最小時，求證：AE⊥平面A1FB.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．

(1)證明：PF⊥FD；
(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面，且△PAD為等腰直角三角形，，E、F分別為PC、BD的中點.

（1）求證：EF//平面PAD；
（2）求證：平面平面 .

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