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5.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=3,AB=2,AC=2,A1C1=1,BDDC=12
(1)證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1;
(2)求二面角A-CC1-B的余弦值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)面面垂直的判定定理證明BC⊥平面A1AD即可;
(Ⅱ)作AE⊥C1C交C1C于E點(diǎn),連接BE,由三垂線定理知BE⊥CC1,從而∠AEB為二面角A-CC1-B的平面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解.

解答 解:(Ⅰ)證明:∵A1A⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴A1A⊥BC.在Rt△ABC中,AB=2AC=2,∴BC=6,
∵BD:DC=1:2,∴BD=63,又BDAB=33=ABBC,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,即AD⊥BC.
又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD,
∵BC?平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1
(Ⅱ)如圖,作AE⊥C1C交C1C于E點(diǎn),連接BE,
由已知得AB⊥平面ACC1A1.∴AE是BE在面ACC1A1內(nèi)的射影.
由三垂線定理知BE⊥CC1,∴∠AEB為二面角A-CC1-B的平面角.
過C1作C1F⊥AC交AC于F點(diǎn),
則CF=AC-AF=1,C1F=A1A=3,∴∠C1CF=60°.
在Rt△AEC中,AE=ACsin60°=2×32=3
BE=5
在Rt△BAE中,cos∠AEB=AEBE=35=155,
即二面角A-CC1-B的余弦值為155

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面與平面垂直的判定,以及二面角的平面角求解,根據(jù)面面垂直的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵.,同時(shí)考查了空間想象能力,計(jì)算能力和推理能力,以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于中檔題.

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