Question

如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點(diǎn)，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：PA∥平面MBD；
（3）試問(wèn)：在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點(diǎn)N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明PQ⊥底面ABCD，即為底面ABCD上的高，進(jìn)而即可求出其體積；
（2）連接底面的對(duì)角線交于點(diǎn)O，再連接OM，利用三角形的中位線即可證明；
（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一條直線與BQ垂直即可，由平面幾何的知識(shí)可知，只要取AB的中點(diǎn)N即可．

解答：解：（1）連接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=2

3

．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD．
∴V=

1

3

×42×2

3

=

32 3

3

．
（2）證明：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OM．
則AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
 3）存在，N為AB中點(diǎn)．
證明：取AB的中點(diǎn)N，連接CN交BQ于點(diǎn)E．
由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，
∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．
由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．
又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，
∵CN?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、線面的平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理即錐體的體積是解題的關(guān)鍵．