Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，且DM=2

2

．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；  
（3）求點(diǎn)B到平面DOM的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理，可得OM∥AB．再由線面平行判定定理，得到OM∥平面ABD；
（2）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4，OD=

1

2

BD=2，從而算出∠DOM=90°，即OD⊥OM．根據(jù)OD⊥AC，利用線面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC，進(jìn)而得出平面DOM⊥平面ABC．
（3）分別算出△DOM的△ABC面積，利用三棱錐B-DOM與三棱錐D-BOM體積相等加以計(jì)算，可得點(diǎn)B到平面DOM的距離．

解答： 解：（1）∵△ABC中，O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，
∴OM∥AB．
∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，
∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴OD=

1

2

BD=2．
∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM=

1

2

AB=2
又∵OD²+OM²=8=DM²，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．
∵AC?平面ABC，OM?平面ABC，AC∩OM=O，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得OD⊥平面BOM，可得OD是三棱錐D-BOM的高．
設(shè)點(diǎn)B到面DOM距離為h，由OD=2，
∴S△ABC=

1

2

×OB×BMsin60°=

3

，S△DOM=

1

2

×OD×OM=2
∵因?yàn)閂_B-DOM=V_D-BOM，
∴

1

3

S_△DOM•h=

1

3

S_△ABC•OD，即

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，解得h=

3

，
即點(diǎn)B到平面DOM的距離等于

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面圖形的翻折，求證線面平行、面面垂直，并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了線面平行判定定理、面面垂直與線面性質(zhì)和性質(zhì)、利用等體積法求點(diǎn)面距離等知識(shí)，屬于中檔題．