【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí),求的最小值;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對任意恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)2(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)無零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);(3)
【解析】試題分析:(1)當(dāng)m=e時(shí), >0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的極小值;(2)由,得,令,x>0,m∈R,則h(1)=,
h′(x)=1-x2=(1+x)(1-x),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g(x)=f′(x)-零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)(理)當(dāng)b>a>0時(shí),f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范圍
試題解析:(1)由題設(shè),當(dāng)時(shí),
易得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), 取得極小值
的極小值為2
(2)函數(shù)
令,得
設(shè)
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞減;
所以是的唯一極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),因此x=1也是的最大值點(diǎn),
的最大值為
又,結(jié)合y= 的圖像(如圖),可知
①當(dāng)時(shí),函數(shù)無零點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
④時(shí),函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)無零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(3)對任意恒成立,等價(jià)于恒成立
設(shè), 在上單調(diào)遞減
在恒成立
恒成立
(對, 僅在時(shí)成立),的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,,其前項(xiàng)和滿足,其中.
(1)設(shè),證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:;
(3)設(shè)(為非零整數(shù),),試確定的值,使得對任意,都有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)作垂直于軸的直線,直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,且分別交橢圓于,求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知動直線過點(diǎn),且與圓交于、兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為,求的面積;
(2)若直線的斜率為,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),求的取值范圍;
(3)是否存在一個(gè)定點(diǎn)(不同于點(diǎn)),對于任意不與軸重合的直線,都有平分,若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推行“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)法,某數(shù)學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”?
附:
臨界值表:
(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核,在這8人中,記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為直角梯形,平面 ,為的中點(diǎn),.
(1)求證:平面 ;
(2)設(shè),求點(diǎn)到平面 的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,邊,所在直線的方程分別為,,已知是邊上一點(diǎn).
(1)若為邊上的高,求直線的方程;
(2)若為邊的中線,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面是、邊長為的菱形,又底,且,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.[
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