Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧$\widehat{AB}$上一點(diǎn)，VC垂直⊙O所在平面，D，E分別為VA，VC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面VBC；
（2）若VC=CA=6，⊙O的半徑為5，求點(diǎn)E到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用圓的性質(zhì)可證明：AC⊥CB．利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：VC⊥AC，于是AC⊥平面VCB．利用三角形中位線定理可得DE∥AC，即可證明DE⊥平面VCB．
（2）設(shè)點(diǎn)E到平面BCD的距離為d，利用V_E-BCD=V_B-CDE解出即可得出．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，C是弧AB上一點(diǎn)，∴AC⊥CB．
又∵VC垂直⊙O所在平面，∴VC⊥AC，∴AC⊥平面VCB．
又∵D，E分別為VA，VC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，
∴DE⊥平面VCB．
（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面BCD的距離為d，
由V_E-BCD=V_B-CDE得$\frac{1}{3}d•{S_{△BCD}}=\frac{1}{3}×8×\frac{1}{2}×3×3$，
∴$d=\frac{{8×\frac{9}{2}}}{{\frac{1}{2}×8×3\sqrt{2}}}=\frac{9}{{3\sqrt{2}}}=\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即點(diǎn)E到平面BCD的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直、線線平行的判定、三角形中位線定理、等體積法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．