Question

如圖，已知，P是圓（M為圓心）上一動點(diǎn)，線段PN的垂直平分線m交PM于Q點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+b與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得：|PQ|=|QN|，|QM|+|QP|=|MP|
∴|QM|+|QN|=|MP|
∵P是圓（M為圓心）上一動點(diǎn)，
∴|MP|=6
∴|QM|+|QN|=6
∵M(jìn)（-，0，N（，0），|MN|=2＜6
∴點(diǎn)Q在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上，即c=，a=3，
∴b²=a²-c²=4
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為；
（Ⅱ）直線y=x+b，代入橢圓方程，消去y可得13x²+18bx+9b²-36=0
△=（18b）²-4×13×（9b²-36）＞0，∴-
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|AB|=|x₁-x₂|=
設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則d=
∴△AOB面積S=|AB|d=••=≤=3
當(dāng)b=±時，等號成立
∴當(dāng)b=±時，面積的最大值為3．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義，可得點(diǎn)Q在以M、N為焦點(diǎn)的橢圓上，由此可求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，求得|AB|，再求出點(diǎn)O到直線AB的距離，可得△AOB面積，利用基本不等式可求最值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式，屬于中檔題．