Question

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=alnx-

1

2

x2+

1

2

(a∈R且a≠0)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0，即使得對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）_max≤0，因此求出函數(shù)的最大值，即可確定a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

a

x

-x=

-x2+a

x

．…（2分）
當(dāng)a＜0時，在區(qū)間（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．…（3分）
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0得x=

a

或x=-

a

（舍）．
函數(shù)f（x），f'（x）隨x的變化如下：

x	(0， a )	a	( a ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以 f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

a

，+∞)．…（6分）
綜上所述，當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

a

，+∞)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
當(dāng)a＜0時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=0，即對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（7分）
當(dāng)a＞0時，
①當(dāng)

a

≤1，即0＜a≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=0，即對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（10分）
②當(dāng)

a

＞1，即a＞1時，f（x）在[1，

a

)上單調(diào)遞增，所以 f(

a

)＞f(1)．
又 f（1）=0，所以 f(

a

)＞0，與對于任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0矛盾．…（12分）
綜上所述，存在實數(shù)a滿足題意，此時a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，合理分類，屬于中檔題．