Question

【題目】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納元(為常數(shù)，)的管理費(fèi)．根據(jù)多年的統(tǒng)計經(jīng)驗，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元時，產(chǎn)品一年的銷售量為為自然對數(shù)的底數(shù))萬件．已知每件產(chǎn)品的售價為40元時，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件．經(jīng)物價部門核定每件產(chǎn)品的售價最低不低于35元，最高不超過41元．

（Ⅰ）求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤萬元與每件產(chǎn)品的售價元的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該產(chǎn)品一年的利潤最大，并求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 當(dāng)2≤a≤4時，每件產(chǎn)品的售價為35元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；當(dāng)4<a≤5時，每件產(chǎn)品的售價為(31＋a)元時，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元.

【解析】

試題分析:（1）先根據(jù)條件求出k，再根據(jù)利潤等于銷售量乘以單個利潤得函數(shù)解析式，最后交代定義域（2）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)與定義區(qū)間關(guān)系分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定最大值

試題解析：(1)由題意，該產(chǎn)品一年的銷售量為y＝.

將x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.

故該產(chǎn)品一年的銷售量y(萬件)關(guān)于x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y＝500e40－x.

所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．

(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．

①當(dāng)2≤a≤4時，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，x＝35時取等號．

所以L(x)在[35，41]上單調(diào)遞減．

因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.

②當(dāng)4<a≤5時，L′(x)>035≤x<31＋a，

L′(x)<031＋a<x≤41.

所以L(x)在[35，31＋a)上單調(diào)遞增，在[31＋a，41]上單調(diào)遞減．

因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.

綜上所述當(dāng)2≤a≤4時，每件產(chǎn)品的售價為35元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；

當(dāng)4<a≤5時，每件產(chǎn)品的售價為(31＋a)元時，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元．