Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，BB₁=

2

，D是A₁C₁中點．
（1）證明：BC₁∥平面AB₁D；
（2）求AB₁與C₁B所成的角的大�。�

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）連接BA₁，交AB₁于E點，連接DE，DE是△A₁BC₁的BC₁邊上的中位線，由此能證明BC₁∥面AB₁D．
（2）由DE∥BC₁，知∠DEB₁是AB₁與C₁B所成的角，由此能求出AB₁與C₁B所成的角的大小．

解答： （1）證明：連接BA₁，交AB₁于E點，
連接DE，∵D是A₁C₁中點，∴DE是△A₁BC₁的BC₁邊上的中位線，
∴DE∥BC₁，
∵DE?平面AB₁D上，BC₁?面AB₁D，
∴BC₁∥面AB₁D．
（2）解：∵DE∥BC₁，∴∠DEB₁是AB₁與C₁B所成的角，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，BB₁=

2

，D是A₁C₁中點，
∴B₁E=

1

2

AB1=

1

2

4+2

=

1

2

6

，DB1=

1- 1 4

=

3

2

，DE=

1

2

BC1=

1

2

4+2

=

1

2

6

，
∴cos∠DEB₁=

( 1 2 6 )2+( 1 2 6 )2-( 3 2 )2

2• 1 2 6 • 1 2 6

=

3

4

．
∴求AB₁與C₁B所成的角的大小為arccos

3

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，解題時要認真審題，注意余弦定理的靈活運用．