Question

已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，判斷和的大小，并說明理由；
(3)求證：當(dāng)時，關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）當(dāng)時，
（3）構(gòu)造函數(shù)考慮函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性，從而得到極值來判定。

解析試題分析：（1）
當(dāng)時可解得，或
當(dāng)時可解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為                         
（2）當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/0/pw5wx4.png" style="vertical-align:middle;" />在單調(diào)遞增，所以
當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/0/pw5wx4.png" style="vertical-align:middle;" />在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當(dāng)時，．
綜上可知：當(dāng)時，．　                        
（3）即
考慮函數(shù)，
，，

所以在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個不同的解  
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，屬于中檔題。