Question

如圖，已知拋物線C：x²=2py（p＞0）與圓O：x²+y²=8相交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與圓O相切，切點(diǎn)在劣弧AB（含A、B兩點(diǎn)）上，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，d是M、N兩點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＜0），由拋物線C和圓O關(guān)于y軸對(duì)稱，知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．由

OA

•

OB

=0，知-x₁²+y₁²=0．由點(diǎn)A在拋物線C上，知x₁²=2py₁．由此能求出p．
（Ⅱ） 解法1：設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，由l是圓O的切線，知

|k•0-0+b|

k2+1

=2

2

，得到l的方程為：y=kx+2

2k2+2

．聯(lián)立

y=kx+2 2k2+2 x2=2y.

，能求出直線l的方程．
解法2：設(shè)直線l與圓O相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則切線l的方程為x₀x+y₀y=8．由

x0x+y0y=8 x2=2y

，得y₀²y²-（16y₀+2x₀²）y+64=0．設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則yM+yN=

16y0+2 x 2 0

y 2 0

．由此能求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁）（x₁＜0），
由于拋物線C和圓O關(guān)于y軸對(duì)稱，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁•（-x₁）+y₁²=0，
即-x₁²+y₁²=0．
∵點(diǎn)A在拋物線C上，
∴x₁²=2py₁．
∴-2py₁+y₁²=0，即y₁（-2p+y₁）=0．
∵y₁≠0，
∴y₁=2p．
∴x₁=-2p．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2p，2p）．
∵點(diǎn)A在圓O上，
∴（-2p）²+（2p）²=8，又p＞0，解得p=1．
（Ⅱ） 解法1：設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，因?yàn)閘是圓O的切線，則有

|k•0-0+b|

k2+1

=2

2

，
又b＞0，則b=2

2k2+2

．
即l的方程為：y=kx+2

2k2+2

．
聯(lián)立

y=kx+2 2k2+2 x2=2y.

即y2-(2k2+4

2k2+2

)y+8(k2+1)=0．
設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則yM+yN=2k2+4

2k2+2

．
如圖，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L(zhǎng)，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=2k2+4

2k2+2

+1．
令t=

2k2+2

，則2k²=t²-2．
∴d=t²+4t-1=（t+2）²-5．
又∵-1≤k≤1，
∴

2

≤t≤2．
∴當(dāng)t=2時(shí)，d有最大值11．
當(dāng)t=2時(shí)，k=±1，故直線l的方程為y=±x+4．
解法2：設(shè)直線l與圓O相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則切線l的方程為x₀x+y₀y=8．
由

x0x+y0y=8 x2=2y

消去x，得y₀²y²-（16y₀+2x₀²）y+64=0．
設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則yM+yN=

16y0+2 x 2 0

y 2 0

．
如圖，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L(zhǎng)，作MM₁⊥L，NN₁⊥L，垂足分別為M₁，N₁．
由拋物線的定義有：d=|MF|+|NF|=|MM₁|+|NN₁|=y_M+y_N+1=

16y0+2 x 2 0

y 2 0

+1．
∵x₀²=8-y₀²，d=

16y0+2(8- y 2 0 )

y 2 0

+1=

16

y 2 0

+

16

y0

-1=16(

1

y0

+

1

2

)2-5．
∵2≤y0≤2

2

，
∴當(dāng)y₀=2時(shí)，d有最大值11．
當(dāng)y₀=2時(shí)，x₀=±2，故直線l的方程為y=±x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．