Question

我們把底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐．現(xiàn)有一正三棱錐P-ABC放置在平面α上，已知它的底面邊長為2，高為h，BC在平面α上，現(xiàn)讓它繞BC轉(zhuǎn)動(dòng)，并使它在某一時(shí)刻在平面α上的射影是等腰直角三角形，則h的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,簡單空間圖形的三視圖

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：分兩類討論，①當(dāng)由點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，②當(dāng)由點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)；找到臨界值，從而求出h的取值范圍．

解答： 解：由正三棱錐在某一時(shí)刻在平面α上的射影是等腰直角三角形知，
①當(dāng)由點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，
h可以趨近于0，但h變到最大時(shí)，面PBC⊥面α；
此時(shí)如右圖，其中，A′A=

2

，A′D=1，DP′=

3

3

，
則由三角形相似可得，

PP′

DA′

=

DP′

AA′

；
則h=PP′=

3 3

2

=

6

6

，
則0＜h≤

6

6

；
②當(dāng)由點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影與BC構(gòu)成等腰直角三角形時(shí)，
點(diǎn)P在平面α內(nèi)時(shí)，h最小，此時(shí)PD=1，則h=

1-( 3 3 )2

=

6

3

；
當(dāng)面ABC⊥面α?xí)r，h最大，此時(shí)h=1．
則

6

3

≤h≤1．
綜上所述，h的取值范圍是：（0，

6

6

]∪[

6

3

，1]．
故答案為：（0，

6

6

]∪[

6

3

，1]．

點(diǎn)評(píng)：這是一道難度較高的題，考查點(diǎn)，線，面在一平面內(nèi)的投影問題，是道壓軸題，在解答時(shí)注意討論分類，并找到臨界圖形．