Question

2．如圖，在三棱錐A-BCD中，二面角A-BC-D的大小為$\frac{π}{4}$，AB⊥BC，DC⊥BC，M，N分別為AC，BD的中點(diǎn)，已知AB=$\sqrt{2}$，BC=CD=1．
（Ⅰ）求證：MN⊥面BCD；
（Ⅱ）求直線AD與平面BCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （I）取BC中點(diǎn)E，連接ME，NE，利用線面垂直的判定定理可得ME⊥BC，同理NE⊥BC，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得BC⊥MN，可得∠MEN為二面角A-BC-D的平面角，利用余弦定理與勾股定理的逆定理即可得出．
（II）取DC中點(diǎn)P，連接MP，NP，可得MP⊥AD，由（1）知MN⊥平面BCD，于是∠MPN為所求的線面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （I）證明：取BC中點(diǎn)E，連接ME，NE，
則ME⊥AB，AB⊥BC，可得ME⊥BC，
同理NE⊥BC，又ME∩NE=E，
∴BC⊥平面MNE，∴BC⊥MN，
∴∠MEN為二面角A-BC-D的平面角，∴∠MEN=45°，
∴在△MEN中，ME=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\sqrt{M{E}^{2}+N{E}^{2}-2ME•NEcos4{5}^{°}}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN²+NE²=ME²，MN⊥NE，∴MN⊥面BCD．
（II）解：取DC中點(diǎn)P，連接MP，NP，
則MP⊥AD，由（1）知MN⊥平面BCD，則∠MPN為所求的線面角．
∵NP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，在RT△MNP中，MN=NP=$\frac{1}{2}$，∠MPN45^°．
即直線AD與平面BCD所成角為45^°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、空間角、余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．