Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)．

（I）  若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

 若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）

（III）

【解析】⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)，．，（1分）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為． 

從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． 

⑵．  令，

要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立．

由題意，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，∴，只需，即時(shí)， 

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是． 

⑶∵在上是減函數(shù)，∴時(shí),;時(shí)，，即，

①  當(dāng)時(shí)，，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)．[來(lái)源:][來(lái)源:ZXXK]

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052409502457814804/SYS201205240951395625536414_DA.files/image034.png">，所以，，此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)．故∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；  

②  當(dāng)時(shí)，由，所以．[來(lái)源:Zxxk.Com]

又由⑵知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

∴，不合題意；  

③  當(dāng)時(shí)，由⑵知在上是增函數(shù)，，又在上是減函數(shù)，

故只需，，而，，即，解得  

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是．