已知函數(shù)f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx-
1
2
cos2x
,x∈R.
(I)求f(x)的最小正周期和值域;
(II)若x0(0≤x0
π
2
)
為f(x)的一個零點,求sin2x0的值.
分析:(I)先由倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式,代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期,再由正弦函數(shù)的最值求出此函數(shù)的最值,再求出函數(shù)的值域;
(II)由函數(shù)零點的定義求出sin(2x0-
π
6
)
,再由x0的范圍求出“2x0-
π
6
”的范圍,再由sin(2x0-
π
6
)
的符號進一步縮小“2x0-
π
6
”的范圍,由平方關系求出cos(2x0-
π
6
)
,再把2x0表示成“(2x0-
π
6
)+
π
6
”,利用兩角和的正弦公式化簡求值.
解答:解:(I)由題意得,f(x)=
1-cos2x
2
+
3
sin2x-
1
2
cos2x

=
3
sin2x-cos2x+
1
2
=2sin(2x-
π
6
)+
1
2
,
∴f(x)的最小正周期為π,且最大值為2+
1
2
=
5
2
,最小值為-2+
1
2
=-
3
2

,則f(x)的值域為[-
3
2
,  
5
2
]
,
(II)由f(x0)=2sin(2x0-
π
6
)+
1
2
=0
得,
sin(2x0-
π
6
)=-
1
4
<0
,
又由0≤x0
π
2
得,-
π
6
≤2x0-
π
6
6
,
-
π
6
≤2x0-
π
6
≤0
,
cos(2x0-
π
6
)=
1-sin2(2x0-
π
6
)
=
15
4
,
sin2x0=sin[(2x0-
π
6
)+
π
6
]
=sin(2x0-
π
6
)cos
π
6
+cos(2x0-
π
6
)sin
π
6

=-
1
4
×
3
2
+
15
4
×
1
2
=
15
-
3
8
點評:本題考查了正弦函數(shù)的性質,三角恒等變換中的一些公式應用,關鍵是要把解析式化為y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再求三角函數(shù)值時注意角之間的關系,以及三角函數(shù)值的符號問題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當x∈S時有x2∈S,給出下列四個結論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對一個實數(shù)集合M,若存在實數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項組成的集合的上界(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的最大值.

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