Question

19．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃+a₄=17．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d，解方程，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
可得2a₁+d=5，2a₁+5d=17，
解得a₁=1，d=3，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
則前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．