Question

（本小題滿分12分）

已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.

(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大��；

(Ⅱ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(1) . (2) k＝

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ) 過D點作DG⊥AC于G，連結BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,

∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.

∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.

∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.

∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .

∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角.

在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a,

∴ .

在Rt△BDG中，.

∴ .

即二面角B-AC-D的大小為.   

(Ⅱ) ∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其補角)是異面直線AB與DE所成的角.

∵ ，∴ .

又DC=, ，

∴

 

∴ .

∴ . 解得 k＝.

考點：異面直線所成的角，以及二面角度求解

點評：解決該試題的關鍵是能利用定義求作角，結合三角形來求解得到結論，屬于基礎題。