(本小題滿分13分)
已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線兩點(diǎn);橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn),且其離心率
(1)求橢圓的方程;
(2)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、,切線相交于點(diǎn).證明:;
(3)橢圓上是否存在一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線為切點(diǎn)),使得直線過(guò)點(diǎn)?若存在,求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積;若不存在,試說(shuō)明理由.

 

 

(1)
(2)略
(3)橢圓上存在一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線    (、為切點(diǎn)),能使直線過(guò)點(diǎn).
此時(shí),兩切線的方程分別為.             …………11分
拋物線與切線、所圍成圖形的面積為
解:(1)設(shè)橢圓的方程為,半焦距為.
由已知條件,得,

解得 .
所以橢圓的方程為:.                  …………
(2)顯然直線的斜率存在,否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意,
故可設(shè)直線的方程為 ,
   
消去并整理得,
∴  .                                  …………
∵拋物線的方程為,求導(dǎo)得
∴過(guò)拋物線、兩點(diǎn)的切線方程分別是
, ,
 ,  ,
解得兩條切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為,即,……

.                                              …………8分
(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,由(2)知點(diǎn)必在直線上,又直線與橢圓有唯一交點(diǎn),故的坐標(biāo)為,
設(shè)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為:,其中點(diǎn)為切點(diǎn).
得,
解得 ,                          …………10分
故不妨取,即直線過(guò)點(diǎn).
綜上所述,橢圓上存在一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線    (、為切點(diǎn)),能使直線過(guò)點(diǎn).
此時(shí),兩切線的方程分別為.             …………11分
拋物線與切線、所圍成圖形的面積為
 .    …………13分
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,                     ,
,  ,       .
        .:Z_x

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