Question

設(shè)點P（m，n）是以y軸為對稱軸，原點為頂點，焦點為（0，1）的拋物線C上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若m∈[1，4]，求s的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

p

2

=1，可得p=2，可得方程；（2）求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，可得切線方程和準(zhǔn)線方程，可得s=

m

2

-

2

m

，可得s在[1，4]單調(diào)遞增，進而可得答案．

解答：解：（1）由題意可得

p

2

=1，可得p=2，故可得方程為：x²=4y…（4分）
（2）過P（m，n）的切線斜率k=y′|x=m=

1

2

m．
∴切線方程為y-n=

1

2

m(x-m)，準(zhǔn)線方程為y=-1． …（8分）
∴-1-

1

4

m2=

1

2

ms-

1

2

m2．解得s=

m

2

-

2

m

． …（12分）
由函數(shù)的性質(zhì)可得s在[1，4]單調(diào)遞增，
∴smin=-

3

2

，smax=

3

2

．
∴s的取值范圍是-

3

2

≤s≤

3

2

．             …（15分）

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．