Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，并畫(huà)出圖象，找出與y=4的交點(diǎn)，從而得到不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）由f（x）的圖象知，x=-

1

2

時(shí)，f（x）有最小值-

7

2

，由題意知，實(shí)數(shù)a大于或等于f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4  ，(x≤- 1 2 ) 3x-2  ，(- 1 2 ≤x＜3 ) x+4  ，(x≥3)

，如圖，它與 y=4的交點(diǎn)為（-8，4）和（2，4）．
故不等式f（x）≤4的解集為[-8，2]．
（Ⅱ）由f（x）的圖象知，x=-

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時(shí)，f（x）有最小值-

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，存在x使得f（x）+a≤0成立，
等價(jià)于-a≥-

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，a≤

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．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

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）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，畫(huà)出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．