Question

函數f（x）=xsinx+cosx+x²，則不等式f（lnx）＜f（1）的解集為

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：求出函數的導數，求出單調增區(qū)間，再判斷函數的奇偶性，則不等式f（lnx）＜f（1）即為F|lnx|）＜f（1），
則|lnx|＜1，運用對數函數的單調性，即可得到解集．

解答： 解：函數f（x）=xsinx+cosx+x²的導數為
f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
則x＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）²=f（x），
則為偶函數，即有f（x）=f（|x|），
則不等式f（lnx）＜f（1）即為F|lnx|）＜f（1），
則|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，

1

e

＜x＜e．
故答案為：（

1

e

，e）．

點評：本題考查函數的單調性和奇偶性的運用：解不等式，考查導數的運用：判斷單調性，考查對數不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．