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18.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinB+cosBtanC=2sinA.
(1)求角C的大;
(2)若8a=5b,求cosB的值.

分析 (1)利用同角三角函數基本關系式、和差公式即可得出.
(2)利用正弦定理、和差公式、同角三角函數基本關系式即可得出.

解答 解:(1)∵sinB+cosBtanC=2sinA,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC,即sin(B+C)=2sinAcosC.
即sinA=2sinAcosC.
∵0<A<π,∴sinA≠0,∴cosC=$\frac{1}{2}$.
∵0<C<π,∴C=$\frac{π}{3}$.
(2)在△ABC中,由8a=5b,得8sinA=5sinB,即8sin($\frac{2π}{3}$-B)=5sinB.∴8$(\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB)$=5sinB,sinB=4$\sqrt{3}$cosB,
cosB≠0,∴tanB=4$\sqrt{3}$,B為銳角,∴cosB=$\frac{1}{7}$.

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、同角三角函數基本關系式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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