Question

    如圖：直平行六面體，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2a的菱形，∠BAD＝60°，E為AB中點(diǎn)，二面角為60°。

    （I）求證：平面⊥平面；

    （II）求二面角的余弦值；

    （III）求點(diǎn)到平面的距離。

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：（I）證明：連結(jié)BD，在菱形ABCD中：∠BAD＝60°     ∴△ABD為正三角形     ∵E為AB中點(diǎn)，∴ED⊥AB     在直六面體中：平面⊥平面ABCD且交于AB     ∵面ABCD     ∴ED⊥面     ∴平面⊥平面     （II）解：（解法一）由（I）知：ED⊥面     ∵面，∴     直平行六面體中：⊥面ABCD     由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED     ∴∠A1EA為二面角的平面角     ∴     取中點(diǎn)F，連EF、，則：     在直平行六面體中：         ∴E、F、C1、D四點(diǎn)共面     ∵ED⊥面ABB1A1且EF面     ∴∠A1EF為二面角的平面角     在中：     在中：     在中：     ∴在中，     ∴二面角的余弦值為     （解法二）由已知得：二面角為     可證得：∠C1DC為二面角的平面角   &nb sp; 求得：     故二面角的大小為     所以，二面角的余弦值為     （III）過F作FG⊥A1E交于G點(diǎn)     ∵平面A1ED⊥平面ABB1A1且平面A1ED平面     ∴FG⊥面，即：FG是點(diǎn)F到平面A1ED的距離     在中：         且E、D面     ∴C1到平面的距離為：