Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，記b_n=2（1+log₃a_n） （n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅱ）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有$\frac{1+_{1}}{_{1}}$•$\frac{1+_{2}}{_{2}}$•…•$\frac{1+_{n}}{_{n}}$＜$\sqrt{2n+1}$成立；
（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有（$\frac{_{1}-1}{_{1}}$）²•（$\frac{_{2}-1}{_{2}}$）²•…•（$\frac{_{n}-1}{_{n}}$）²≥$\frac{1}{4n}$成立．

Answer 1

分析 （I）由S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得：a_n=3^n-1．于是b_n=2n．a(chǎn)_nb_n=2n•3^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（II）利用$\frac{1+_{n}}{_{n}}$=$\frac{1+2n}{2n}$＜$\frac{2n}{2n-1}$.1+2n=2（n+1）-1．設(shè)T_n=$\frac{1+_{1}}{_{1}}$•$\frac{1+_{2}}{_{2}}$•…•$\frac{1+_{n}}{_{n}}$，可得T_n＜$\frac{1}{{T}_{n}}$×（1+2n），即可證明．
（III）n=1時(shí)，$（\frac{2-1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，可得左邊=右邊，成立．n≥2時(shí)，$（\frac{_{n}-1}{_{n}}）^{2}$=$（\frac{2n-1}{2n}）^{2}$≥$\frac{n-1}{n}$，即可證明．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，∴n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{3-1}{2}$=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$-$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，化為：a_n=3^n-1，n=1時(shí)也成立．∴a_n=3^n-1．∴b_n=2（1+log₃a_n）=2n．
∴a_nb_n=2n•3^n-1．
∴數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n=2（1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1）．
∴3T_n=2[3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
∴-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2×$（\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n•{3}^{n}）$=（1-2n）•3ⁿ-1，
∴T_n=$\frac{1+（2n-1）•{3}^{n}}{2}$．
（II）證明：$\frac{1+_{n}}{_{n}}$=$\frac{1+2n}{2n}$＜$\frac{2n}{2n-1}$.1+2n=2（n+1）-1．
∴T_n=$\frac{1+_{1}}{_{1}}$•$\frac{1+_{2}}{_{2}}$•…•$\frac{1+_{n}}{_{n}}$=$\frac{1+2}{2×1}$×$\frac{1+2×2}{2×2}$×…×$\frac{1+2n}{2n}$＜$\frac{2×1}{2×1-1}$×$\frac{2×2}{2×2-1}$×…×$\frac{2n}{2n-1}$=$\frac{2×1}{2×2-1}$×$\frac{2×1}{2×3-1}$×…×$\frac{2（n-1）}{2n-1}$×$\frac{2n}{1+2n}$×（1+2n）．
∴T_n＜$\frac{1}{{T}_{n}}$×（1+2n），
∴T_n＜$\sqrt{2n+1}$．
（III）證明：n=1時(shí)，$（\frac{2-1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，∴左邊=右邊，成立．
n≥2時(shí)，∵$（\frac{_{n}-1}{_{n}}）^{2}$=$（\frac{2n-1}{2n}）^{2}$≥$\frac{n-1}{n}$，
∴（$\frac{_{1}-1}{_{1}}$）²•（$\frac{_{2}-1}{_{2}}$）²•…•（$\frac{_{n}-1}{_{n}}$）²≥$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{4n}$．
∴對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有（$\frac{_{1}-1}{_{1}}$）²•（$\frac{_{2}-1}{_{2}}$）²•…•（$\frac{_{n}-1}{_{n}}$）²≥$\frac{1}{4n}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”、不等式的證明、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．