Question

13．[示范高中]設(shè)x，y滿足的約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則a²+b²的最小值為2．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值是8，確定a，b之間的關(guān)系，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)的最小值．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=4ax+by（a＞0，b＞0），
得y=-$\frac{4a}$x+$\frac{z}$，
平移直線y=-$\frac{4a}$x+$\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{4a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-$\frac{4a}$x+$\frac{z}$的截距最大，此時(shí)最大值8，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
代入目標(biāo)函數(shù)得4a+4b=8，即a+b=2，a²+b²的幾何意義為直線上點(diǎn)到圓的距離的平方，
則圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
則a²+b²的最小值為d²=2；
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．