Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=4S_n-1（n∈N^*）則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．

Answer 1

分析 由a_na_n+1=4S_n-1，可得當n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_n≠0，兩式相減化為a_n+1-a_n-1=4，可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，進而得出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵a_na_n+1=4S_n-1，
∴當n≥2時，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_na_n+1-a_n-1a_n+1=4a_n，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=4，
當n=1時，a₁a₂=4a₁-1，a₁=1，解得a₂=3，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，公差為4，首項分別為1，3．
∴當n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時，a_n=a_2k-1=1+4（k-1）=4k-3=2n-1；
當n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，a_n=a_2k=3+4（k-1）=2n-1．
可得a_n=2n-1．
故答案為：a_n=2n-1．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．