Question

9．在平面直角坐標系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（$θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，θ為參數(shù)）若以坐標系原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）將曲線C₂向下平移m（m＞0）個單位后得到的曲線恰與曲線C₁有兩個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）將曲線C₂向下平移m（m＞0）個單位后得到的曲線對應方程為y=x-m，利用特殊位置求出m的值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（$θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，θ為參數(shù)），消去參數(shù)得到曲線C₁的普通方程：（x-2）²+y²=4（2≤x≤4，-2≤y≤2），…（3分）
曲線C₂的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），直角坐標方程為C₂：y=x．…（5分）
（Ⅱ）將曲線C₂向下平移m（m＞0）個單位后得到的曲線對應方程為y=x-m，
則當直線與圓相切時：$\frac{{|{2-m}|}}{{\sqrt{2}}}=2$，即$m=2±2\sqrt{2}$，…（8分）
又直線恰過點（2，-2）時，m=4，可得：$4≤m＜2+2\sqrt{2}$…（10分）

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．