Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，BB₁=4，E為AD的中點，點P在線段C₁E上，則點P到直線BB₁的距離的最小值為（　�。�

• A、2
• B、

  10

• C、

  3 10

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：計算題,轉(zhuǎn)化思想,空間位置關系與距離

分析：如圖所示，取A₁D₁的中點F，連接EF，EC₁，利用線面平行的性質(zhì)即可得到C₁C∥平面D₁EF，進而得到異面直線D₁E與C₁C的距離．

解答： 解：如圖所示，取A₁D₁的中點F，連接EF，EC₁，
∵EF∥CC₁，EF=CC₁=BB₁，BB₁⊥底面ABCD，
∴四邊形EFB₁B是矩形．
∴BB₁∥EF，
又EF?平面C₁EF，BB₁?平面C₁EF，∴BB₁∥平面C₁EF．
∴直線B₁B上任一點到平面C₁EF的距離是兩條異面直線C₁E與BB₁的距離．
過點B₁作B₁M⊥C₁F，
∵平面C₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴B₁M⊥平面C₁EF．
過點M作MP∥EF交C₁E于點P，則MP∥C₁C．
取B₁N=MP，連接PN，則四邊形MPNB₁是矩形．
可得NP⊥平面C₁EF，
在△B₁C₁F中，B₁M•C₁F=B₁C₁•A₁B₁，又C₁F=

AB2+( 1 2 AD)2

=

10

，得B₁M=

3×2

10

=

3 10

5

．
∴點P到直線CC₁的距離的最小值為

3 10

5

．
故選：C．

點評：本題考查異面直線的距離的求法，熟練掌握通過線面平行的性質(zhì)即可得到異面直線的距離是解題的關鍵．考查轉(zhuǎn)化思想的應用．