如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點。
（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；
（Ⅲ）是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由。
（Ⅰ）證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE//PC，
又因為DE平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）證明：因為D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四邊形DEFG為平行四邊形，
又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，
所以四邊形DEFG為矩形。
（Ⅲ）解：存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，
設Q為EG的中點，由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，
分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。
與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，
其對角線點為EG的中點Q，且QM=QN=EG，
所以Q為滿足條件的點。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=
2
，求四面體PABC的體積．

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（本小題滿分14分）

如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA，AC、CB、BP的中點．

(1)求證：D、E、F、G四點共面；

(2)求證：PC⊥AB；

(3)若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省江門市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年廣東省廣州市高考數(shù)學一模調(diào)研交流試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，，求四面體PABC的體積．

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