Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）如果f（

1

6

）=-1，求滿足不等式f（x+2）-f（

1

x+3

）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，即有f（

x2

x1

）＞0，再由條件可得f（x₁）-f（x₂）═-f（ 

x2

x1

 ）＜0，即可得證；
（3）令x=

1

6

，y=1得f（1）=0，令x=

6

，y=

1

6

得f（

6

）=1．令x=y=

6

，則f（6）=2．不等式f（x+2）-f（

1

x+3

）≥2即為f（x+2）-f（

1

x+3

）≥f（6）．即有f（x+2）≥f（

6

x+3

），再由（2）的單調(diào)性，得到不等式組，解出即可，注意定義域．

解答： （1）解：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則

x2

x1

＞1，∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（（

x2

x1

）•x₁）=f（x₁）-f（

x2

x1

）-f（x₁）
=-f（ 

x2

x1

 ）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）解：令x=

1

6

，y=1得，f（

1

6

×1）=f（

1

6

）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=

6

，y=

1

6

得，f（1）=f（

6

×

1

6

）=f（

6

）+f（

1

6

），
∵f（

1

6

）=-1，∴f（

6

）=1．
令x=y=

6

，則f（6）=2f（

6

）=2．
不等式f（x+2）-f（

1

x+3

）≥2即為f（x+2）-f（

1

x+3

）≥f（6）．
即有f（x+2）≥f（

6

x+3

），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

x+2＞0 6 x+3 ＞0 x+2≥ 6 x+3

，解得

x＞-2 x＞-3 x≥0或-5≤x＜-3

即有x≥0．
則所求的x的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，以及函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．