(附加題)已知函數(shù)f(x)=x2-2kx+k+1.
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上有最小值-5,求k的值.
(Ⅱ)若同時滿足下列條件①函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào);②存在區(qū)間[a,b]⊆D使得f(x)在[a,b]上的值域也為[a,b];則稱f(x)為區(qū)間D上的閉函數(shù),試判斷函數(shù)f(x)=x2-2kx+k+1是否為區(qū)間[k,+∞)上的閉函數(shù)?若是求出實數(shù)k的取值范圍,不是說明理由.
分析:(Ⅰ) f(x)=x2-2kx+k+1=(x-k)2-k2+k+1,對稱軸x=k.分k<1、1≤k≤2、k>2三種情況,分別求出k的值,即得所求.
(Ⅱ)f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上單調(diào)遞增,由于f(x)在[a,b]上的值域也為[a,b],則有
a2-2ka+k+1=a
b2-2kb+k+1=b
,即方程x2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有兩不同實數(shù)根,
解不等式組
(2k+1)2-4(k+1)>0
2k+1
2
>k
k2-k(2k+1)+k+1>0
,求得實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ) f(x)=x2-2kx+k+1=(x-k)2-k2+k+1,對稱軸x=k.
①當k<1時,fmin(x)=f(1)=1-2k+k+1=-5,解得k=7,(舍去)
②當1≤k≤2時,fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5,解得k=-2或3,(舍去)
③當k>2時,fmin(x)=f(2)=4-4k+k+1=-5,解得k=
10
3

綜合①②③可得k=
10
3
.-------(4分)
(Ⅱ)當k∈(-1,-
3
2
)∪(
3
2
,1)
時,函數(shù)f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上是閉函數(shù).--------(6分)
∵函數(shù)開口向上且對稱軸為x=k,∴f(x)=x2-2kx+k+1在[k,+∞)上單調(diào)遞增.
設存在區(qū)間[a,b]⊆[k,+∞)使得f(x)在[a,b]上的值域也為[a,b],
則有
a2-2ka+k+1=a
b2-2kb+k+1=b
,即方程x2-2kx+k+1=x在[k,+∞)有兩不同實數(shù)根.---------(8分)
(2k+1)2-4(k+1)>0
2k+1
2
>k
k2-k(2k+1)+k+1>0
,解得-1<k<-
3
2
3
2
<k<1
,
∴k的取值范圍為(-1,-
3
2
)∪(
3
2
,1)
-----(10分)
點評:本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想、等價轉化的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

附加題:
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a
(a為實數(shù)),
(1)求不等式f′(x)>
3
2
-ax
的解集;
(2)若f′(1)=0,①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②證明對任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
5
16
恒成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

附加題:已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
,(其中ω>0)
,且函數(shù)y=f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2

(Ⅰ)求f(
π
6
)
的值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(kx+
π
12
)(k>0)
在區(qū)間[-
π
6
,
π
3
]
上單調(diào)遞增,求實數(shù)k的取值范圍;
(III)是否存在實數(shù)m使方程3f2(x)-f(x)+m=0在(
π
12
,
π
3
]
內(nèi)僅有一解,若存在,求出實數(shù)m的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(附加題)已知函數(shù)f(x)=x2+px+q,對于任意θ∈R,有f(sinθ)≤0,且f(sinθ+2)≥0.
(1)求p、q之間的關系式;
(2)求p的取值范圍;
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14,求p的值,并求此時f(sinθ)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

附加題:
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a
(a為實數(shù)),
(1)求不等式f′(x)>
3
2
-ax
的解集;
(2)若f′(1)=0,①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②證明對任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
5
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恒成立.

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