Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)|CB|，|AB|，|CA|成等差數(shù)列，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求頂點(diǎn)C的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若線段CA的延長(zhǎng)線交軌跡W于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，求線段CD的垂直平分線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的定義求軌跡方程．
（2）設(shè)出直線AC方程，代入橢圓，據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出CD中點(diǎn)的坐標(biāo)，得到CD垂直平分線l的方程，令y=0，得l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷解析式的單調(diào)性，據(jù)單調(diào)性得出l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：
（Ⅰ）因?yàn)閨CB|，|AB|，|CA|成等差數(shù)列，
點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2|AB|=4且4＞|AB|
由橢圓的定義可知點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸為4的橢圓（去掉長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），
所以．
故頂點(diǎn)C的軌跡W方程為．（4分）
（Ⅱ）由題意可知直線AC的斜率存在，設(shè)直線AC方程為y=k（x+1）．
由得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，，
所以線段CD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
故CD垂直平分線l的方程為，
令y=0，得l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
由得，解得-1＜x₁≤0，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182603678543032/SYS201310241826036785430018_DA/10.png">，所以．
當(dāng)-1＜x₁≤0時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)遞減，
所以k²≥3．所以，．
故直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、橢圓的定義，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用．