Question

已知P、Q是拋物線C：y=x²上兩動(dòng)點(diǎn)，直線l₁、l₂分別是拋物線C在點(diǎn)P、Q處的切線，且l₁⊥l₂，l₁∩l₂=M．
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）直線PQ是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？試證之；
（3）求△PQM的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，點(diǎn)M是兩切線的交點(diǎn)，故可以求出兩條切線的方程，解出兩切線交點(diǎn)的坐標(biāo)即點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由兩切線垂直，其斜率的乘積為-1，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)斜式寫出過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程，易得其過(guò)定點(diǎn)（0，

1

4

）；
（3）由題意，可由兩點(diǎn)間距離公式求出線段PQ的參數(shù)表達(dá)式，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線PQ的參數(shù)表達(dá)式，由面積公式建立面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可得到面積的最值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，x₂²），（x₁≠x₂），又y'=2x，則：

l1：y=2x1(x-x1)+x12 l2：y=2x2(x-x2)+x22

⇒M(

x1+x2

2

，x1•x2）
又l₁⊥l₂，則4x₁•x₂=-1⇒x₁•x₂=-

1

4

，∴y_M=-

1

4

…．（4分）
（2）PQ：y-x₁²=

x12-x22

x1-x2

(x-x1)，即y=(x1+x2)•x+

1

4

∴PQ恒過(guò)定點(diǎn)（0，

1

4

）…（8分）
（3）令x₁+x₂=k，則M（

k

2

，-

1

4

），PQ：y=kx+

1

4

∴M到PQ的距離d=

| k2 2 + 1 4 + 1 4 |

k2+1

=

1

2

k2+1

又|PQ|=

(x1-x2)2+(x12-x22)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

(x1-x2)2(1+k2)

=

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=1+k2
∴S_△PQM=

1

2

|PQ|•d=

1

4

(k2+1)

3

2

≥

1

4

（此時(shí)k=0）…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合，考查了切線的求法，恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，求面積的最值等，解題的關(guān)鍵是理解題意，由圓錐曲線中的相關(guān)計(jì)算根據(jù)題設(shè)中的等量關(guān)系建立方程或函數(shù)關(guān)系，本題考查了推理判斷的能力，符號(hào)計(jì)算的能力，是綜合性較強(qiáng)的題